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前言:题图无关,接下来开始简单学习学习优先队列和堆的相关数据结构的知识;

前序文章:

  • 数据结构与算法(1)——数组与链表(https://www.jianshu.com/p/7b93b3570875)
  • 数据结构与算法(2)——栈和队列(https://www.jianshu.com/p/5087c751cb42)
  • 数据结构与算法(3)——树(二叉、二叉搜索树)(https://www.jianshu.com/p/4ef1f50d45b5)

什么是优先队列?

听这个名字就能知道,优先队列也是一种队列,只不过不同的是,优先队列的出队顺序是按照优先级来的;在有些情况下,可能需要找到元素集合中的最小或者最大元素,可以利用优先队列ADT来完成操作,优先队列ADT是一种数据结构,它支持插入和删除最小值操作(返回并删除最小元素)或删除最大值操作(返回并删除最大元素);

这些操作等价于队列的enQueuedeQueue操作,区别在于,对于优先队列,元素进入队列的顺序可能与其被操作的顺序不同,作业调度是优先队列的一个应用实例,它根据优先级的高低而不是先到先服务的方式来进行调度;

如果最小键值元素拥有最高的优先级,那么这种优先队列叫作升序优先队列(即总是先删除最小的元素),类似的,如果最大键值元素拥有最高的优先级,那么这种优先队列叫作降序优先队列(即总是先删除最大的元素);由于这两种类型时对称的,所以只需要关注其中一种,如升序优先队列;

优先队列ADT

下面操作组成了优先队列的一个ADT;

1.优先队列的主要操作
优先队列是元素的容器,每个元素有一个相关的键值;

  • insert(key, data):插入键值为key的数据到优先队列中,元素以其key进行排序;
  • deleteMin/deleteMax:删除并返回最小/最大键值的元素;
  • getMinimum/getMaximum:返回最小/最大剑指的元素,但不删除它;

2.优先队列的辅助操作

  • 第k最小/第k最大:返回优先队列中键值为第k个最小/最大的元素;
  • 大小(size):返回优先队列中的元素个数;
  • 堆排序(Heap Sort):基于键值的优先级将优先队列中的元素进行排序;

优先队列的应用

  • 数据压缩:赫夫曼编码算法;
  • 最短路径算法:Dijkstra算法;
  • 最小生成树算法:Prim算法;
  • 事件驱动仿真:顾客排队算法;
  • 选择问题:查找第k个最小元素;
  • 等等等等....

优先队列的实现比较

实现 插入 删除 寻找最小值
无序数组 1 n n
无序链表 1 n n
有序数组 n 1 1
有序链表 n 1 1
二叉搜索树 logn(平均) logn(平均) logn(平均)
平衡二叉搜索树 logn logn logn
二叉堆 logn logn 1

堆和二叉堆

什么是堆

堆是一颗具有特定性质的二叉树,堆的基本要求就是堆中所有结点的值必须大于或等于(或小于或等于)其孩子结点的值,这也称为堆的性质;堆还有另一个性质,就是当 h > 0 时,所有叶子结点都处于第 h 或 h - 1 层(其中 h 为树的高度,完全二叉树),也就是说,堆应该是一颗完全二叉树;

在下面的例子中,左边的树为堆(每个元素都大于其孩子结点的值),而右边的树不是堆(因为5大于其孩子结点2)

二叉堆

在二叉堆中,每个结点最多有两个孩子结点,在实际应用中,二叉堆已经足够满足需求,因此接下来主要讨论二叉最小堆和二叉最大堆;

堆的表示:在描述堆的操作前,首先来看堆是怎样表示的,一种可能的方法就是使用数组,因为堆在形式上是一颗完全二叉树,用数组来存储它不会浪费任何空间,例如下图:

用数组来表示堆不仅不会浪费空间还具有一定的优势:

  • 每个结点的左孩子为下标i的2倍:left child(i) = i * 2;每个结点的右孩子为下标i的2倍加1:right child(i) = i * 2 + 1
  • 每个结点的父亲结点为下标的二分之一:parent(i) = i / 2,注意这里是整数除,2和3除以2都为1,大家可以验证一下;
  • 注意:这里是把下标为0的地方空出来了的,主要是为了方便理解,如果0不空出来只需要在计算的时候把i值往右偏移一个位置就行了(也就是加1,大家可以试试,下面的演示也采取这样的方式);

二叉堆的相关操作

堆的基本结构

public class MaxHeap<E extends Comparable<E>> {
    private Array<E> data;
    public MaxHeap(int capacity){ data = new Array<>(capacity); }
    public MaxHeap(){ data = new Array<>(); }
    // 返回堆中的元素个数
    public int size(){ return data.getSize(); }
    // 返回一个布尔值, 表示堆中是否为空
    public boolean isEmpty(){ return data.isEmpty(); }
    // 返回完全二叉树的数组表示中,一个索引所表示的元素的父亲节点的索引
    private int parent(int index){
        if(index == 0)
            throw new IllegalArgumentException("index-0 doesn't have parent.");
        return (index - 1) / 2;
    }
    // 返回完全二叉树的数组表示中,一个索引所表示的元素的左孩子节点的索引
    private int leftChild(int index){ return index * 2 + 1; }
    // 返回完全二叉树的数组表示中,一个索引所表示的元素的右孩子节点的索引
    private int rightChild(int index){ return index * 2 + 2; }
}

向堆中添加元素和Sift Up

当插入一个元素到堆中时,它可能不满足堆的性质,在这种情况下,需要调整堆中元素的位置使之重新变成堆,这个过程称为堆化(heapifying);在最大堆中,要堆化一个元素,需要找到它的父亲结点,如果不满足堆的基本性质则交换两个元素的位置,重复该过程直到每个结点都满足堆的性质为止,下面我们来模拟一下这个过程:

下面我们在该堆中插入一个新的元素26:

我们通过索引(上面的公式)可以很容易地找到新插入元素的父亲结点,然后比较它们的大小,如果新元素更大则交换两个元素的位置,这个操作就相当于把该元素上浮了一下:

重复该操作直到26到了一个满足堆条件的位置,此时就完成了插入的操作:

对应的代码如下:

// 向堆中添加元素
public void add(E e){
    data.addLast(e);
    siftUp(data.getSize() - 1);
}

private void siftUp(int k){

    while(k > 0 && data.get(parent(k)).compareTo(data.get(k)) < 0 ){
        data.swap(k, parent(k));
        k = parent(k);
    }
}

取出堆中的最大元素和Sift Down

如果理解了上述的过程,那么取出堆中的最大元素(堆顶元素)将变得容易,不过这里运用到一个小技巧,就是用最后一个元素替换掉栈顶元素,然后把最后一个元素删除掉,这样一来元素的总个数也满足条件,然后只需要把栈顶元素依次往下调整就好了,这个操作就叫做Sift Down(下沉):

用最后元素替换掉栈顶元素,然后删除最后一个元素:

然后比较其孩子结点的大小:

如果不满足堆的条件,那么就跟孩子结点中较大的一个交换位置:

重复该步骤,直到16到达合适的位置:

完成取出最大元素的操作:

对应的代码如下:

// 看堆中的最大元素
public E findMax(){
    if(data.getSize() == 0)
        throw new IllegalArgumentException("Can not findMax when heap is empty.");
    return data.get(0);
}

// 取出堆中最大元素
public E extractMax(){

    E ret = findMax();

    data.swap(0, data.getSize() - 1);
    data.removeLast();
    siftDown(0);

    return ret;
}

private void siftDown(int k){

    while(leftChild(k) < data.getSize()){
        int j = leftChild(k); // 在此轮循环中,data[k]和data[j]交换位置
        if( j + 1 < data.getSize() &&
                data.get(j + 1).compareTo(data.get(j)) > 0 )
            j ++;
        // data[j] 是 leftChild 和 rightChild 中的最大值

        if(data.get(k).compareTo(data.get(j)) >= 0 )
            break;

        data.swap(k, j);
        k = j;
    }
}

Replace 和 Heapify

Replace这个操作其实就是取出堆中最大的元素之后再新插入一个元素,常规的做法是取出最大元素之后,再利用上面的插入新元素的操作对堆进行Sift Up操作,但是这里有一个小技巧就是直接使用新元素替换掉堆顶元素,之后再进行Sift Down操作,这样就把两次O(logn)的操作变成了一次O(logn):

// 取出堆中的最大元素,并且替换成元素e
public E replace(E e){

    E ret = findMax();
    data.set(0, e);
    siftDown(0);
    return ret;
}

Heapify翻译过来就是堆化的意思,就是将任意数组整理成堆的形状,通常的做法是遍历数组从0开始添加创建一个新的堆,但是这里存在一个小技巧就是把当前数组就看做是一个完全二叉树,然后从最后一个非叶子结点开始进行Sift Down操作就可以了,最后一个非叶子结点也很好找,就是最后一个结点的父亲结点,大家可以验证一下:

从22这个节点开始,依次开始Sift Down操作:

重复该过程直到堆顶元素:

完成堆化操作:

将n个元素逐个插入到一个空堆中,算法复杂度是O(nlogn),而heapify的过程,算法复杂度为O(n),这是有一个质的飞跃的,下面是代码:

public MaxHeap(E[] arr){
    data = new Array<>(arr);
    for(int i = parent(arr.length - 1) ; i >= 0 ; i --)
        siftDown(i);
}

基于堆的优先队列

首先我们的队列仍然需要继承我们之前将队列时候声明的哪个接口Queue,然后实现这个接口中的方法就可以了,之类简单写一下:

public class PriorityQueue<E extends Comparable<E>> implements Queue<E> {

    private MaxHeap<E> maxHeap;

    public PriorityQueue(){ maxHeap = new MaxHeap<>(); }
    @Override
    public int getSize(){ return maxHeap.size(); }
    @Override
    public boolean isEmpty(){ return maxHeap.isEmpty(); }
    @Override
    public E getFront(){ return maxHeap.findMax(); }
    @Override
    public void enqueue(E e){ maxHeap.add(e); }
    @Override
    public E dequeue(){ return maxHeap.extractMax(); }
}

Java中的PriorityQueue

在Java中也实现了自己的优先队列java.util.PriorityQueue,与我们自己写的不同之处在于,Java中内置的为最小堆,然后就是一些函数名不一样,底层还是维护了一个Object类型的数组,大家可以戳戳看有什么不同,另外如果想要把最小堆变成最大堆可以给PriorityQueue传入自己的比较器,例如:

// 默认为最小堆
PriorityQueue<Integer> pq = new PriorityQueue<>();

pq.add(5);
pq.add(2);
pq.add(1);
pq.add(10);
pq.add(3);

while (!pq.isEmpty()) {
    System.out.println(pq.poll() + ", ");
}
System.out.println();
System.out.println("————————————————————————");

// 使用Lambda表达式传入自己的比较器转换成最大堆
PriorityQueue<Integer> pq2 = new PriorityQueue<>((a, b) -> b - a);
pq2.add(5);
pq2.add(2);
pq2.add(1);
pq2.add(10);
pq2.add(3);

while (!pq2.isEmpty()) {
    System.out.println(pq2.poll() + ", ");
}

LeetCode相关题目整理

23. 合并K个排序链表

参考答案:(85ms)

public ListNode mergeKLists(ListNode[] lists) {
    if (lists == null || lists.length == 0) return null;

    PriorityQueue<ListNode> q = new PriorityQueue<>(Comparator.comparing(node -> node.val));
    for (int i = 0; i < lists.length; i++) {
        if (lists[i] != null) {
            q.add(lists[i]);
        }
    }

    ListNode dummy = new ListNode(0);
    ListNode tail = dummy;

    while (!q.isEmpty()) {
        tail.next = q.poll();
        tail = tail.next;
        if (tail.next != null) {
            q.add(tail.next);
        }
    }

    return dummy.next;
}

215. 数组中的第K个最大元素

我的答案:(75ms)

public int findKthLargest(int[] nums, int k) {

    // 正确性判断
    if (0 == nums.length || null == nums || k <= 0 || k > nums.length) {
        return -1;
    }

    // 构造优先队列,默认为最小堆,传入自定义的比较器转换成最大堆
    PriorityQueue<Integer> pq = new PriorityQueue<>((a, b) -> b - a);
    for (Integer num : nums) {
        pq.add(num);
    }
    for (int i = 0; i < k - 1; i++) {
        pq.remove();
    }
    return pq.peek();
}

参考答案:(5ms)

public int findKthLargest(int[] nums, int k) {
    if (nums.length == 1) {
        return nums[0];
    }

    int max = nums[0];
    int min = nums[0];

    for (int i : nums) {
        max = i > max ? i : max;
        min = i < min ? i : min;
    }

    int[] arrs = new int[max - min + 1];

    for (int i : nums) {
        arrs[max - i]++;
    }

    int pos = 0;
    for (int i = 0; i < arrs.length; i++) {
        pos += arrs[i];
        if (pos >= k) {
            return max - i;
        }
    }

    return nums[0];
}

还看到一个简单粗暴的,也是服了:(4ms)

public int findKthLargest(int[] nums, int k) {
    Arrays.sort(nums);
    return nums[nums.length - k];
}

而且我随机生成了一个100万数据的随机数组,来测试这个简单粗暴的方法的效率,发现当数据量上去之后,排序这个操作变得繁琐,我自己测试的时候,上面三个方法,第三个大概比第一个(我自己写的方法)多花仅4倍的时间;

239. 滑动窗口最大值(类似剑指Offer面试题59)

参考答案:(88ms)

public int[] maxSlidingWindow(int[] nums, int k) {
    if (nums == null || k <= 0) return new int[0];
    int[] res = new int[nums.length - k + 1];
    ArrayDeque<Integer> deque = new ArrayDeque<Integer>();

    int index = 0;
    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        while (!deque.isEmpty() && deque.peek() < i - k + 1) // Ensure deque's size doesn't exceed k
            deque.poll();

        // Remove numbers smaller than a[i] from right(a[i-1]) to left, to make the first number in the deque the largest one in the window      
        while (!deque.isEmpty() && nums[deque.peekLast()] < nums[i])
            deque.pollLast();

        deque.offer(i);// Offer the current index to the deque's tail

        if (i >= k - 1)// Starts recording when i is big enough to make the window has k elements 
            res[index++] = nums[deque.peek()];
    }
    return res;
}

参考答案2:(9ms)

public int[] maxSlidingWindow(int[] nums, int k) {
/*
思想:依次遍历数组,有效范围在长度k内寻找当前最大值,在用result数组来依次存储当前长度K内的最大值;
     若在当前轮中出现新增的nums[end]大于curMax,直接替换即可;
     如果当前轮curMax不是新增的nums[end],在新的范围内重置curMax.
*/
    if (nums.length == 0 || k <= 0)
        return new int[0];
    int curMax = Integer.MIN_VALUE;
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        if (nums[i] > curMax)
            curMax = nums[i];
    }
    int[] ans = new int[nums.length - k + 1];
    ans[0] = curMax;

    for (int start = 1; start + k - 1 < nums.length; start++) {
        int end = start + k - 1;
        if (nums[end] > curMax)
            curMax = nums[end];
        else if (nums[start - 1] == curMax) {//新增的不大于curMax,新范围内重置
            curMax = Integer.MIN_VALUE;
            for (int i = start; i <= end; i++) {
                if (nums[i] > curMax)
                    curMax = nums[i];
            }
        }
        ans[start] = curMax;
    }
    return ans;
}

264. 丑数 II(剑指Offer面试题49)

参考答案:(7ms)

public int nthUglyNumber(int n) {
    // 正确性判断
    if (n < 1 || n > 1690) {
        return -1;
    }
    int[] ugly = new int[n];
    ugly[0] = 1;
    int index2 = 0, index3 = 0, index5 = 0;
    int factor2 = 2, factor3 = 3, factor5 = 5;
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        int min = Math.min(Math.min(factor2, factor3), factor5);
        ugly[i] = min;
        if (factor2 == min)
            factor2 = 2 * ugly[++index2];
        if (factor3 == min)
            factor3 = 3 * ugly[++index3];
        if (factor5 == min)
            factor5 = 5 * ugly[++index5];
    }
    return ugly[n - 1];
}

如果采用逐个判断每个整数是不是丑数的解法,直观但不够高效,所以我们就需要换一种思路,我的第一反应就是这其中一定有什么规律,但是尝试着找了一下,没找到...看了看答案才幡然醒悟,前面提到的算法之所以效率低,很大程度上是因为不管一个数是不是丑数,我们都要对它进行计算,接下来我们试着找到一种只计算丑数的方法,而不在非丑数的整数上花费时间,根据丑数的定义,丑数应该是另一个丑数乘以2、3或者5的结果(1除外),因此,我们可以创建一个数组,里面的数字是排好序的丑数,每个丑数都是前面的丑数乘以2、3或者5得到的,也就是上面的算法了..

295.数据流的中位数(剑指Offer面试题41)

参考答案:(219ms)

public class MedianFinder {

    PriorityQueue<Integer> maxHeap;
    PriorityQueue<Integer> minHeap;

    /**
     * initialize your data structure here.
     */
    public MedianFinder() {
        maxHeap = new PriorityQueue<>(Collections.reverseOrder());
        minHeap = new PriorityQueue<>();
    }

    public void addNum(int num) {
        maxHeap.add(num);
        minHeap.add(maxHeap.poll());
        if (minHeap.size() - maxHeap.size() > 0) {
            maxHeap.add(minHeap.poll());
        }
    }

    public double findMedian() {
        if (maxHeap.size() == minHeap.size()) {
            return (maxHeap.peek() + minHeap.peek()) / 2.0;
        } else {
            return maxHeap.peek();
        }
    }
}

思路:这道题的实现思路有很多,比如我们可以在插入的时候就将每个元素插入到正确的位置上,这样返回中位数的时候就会是一个O(1)的操作,下面列举一张表来说明不同实现的复杂度具体是多少:

数据结构 插入的时间复杂度 得到中位数的时间复杂度
没有排序的数组 O(1) O(n)
排序的数组 O(n) O(1)
排序的链表 O(n) O(1)
二叉搜索树 平均O(logn),最差O(n) 平均O(logn),最差O(n)
AVL树 O(logn) O(logn)
最大堆和最小堆 O(logn) O(logn)

AVL树是一种很高效的数据结构,但是在大多数的语言中都没有现成的实现,所以考虑用最大堆和最小堆,对于一个已经排好序的数据容器,我们可以从中间分开分成两个部分,其中拿P1指向左半部分最大的元素,拿P2指向有半部分最小的元素,如果能够保证数据容器左边的数据都小于右边的数据,那么即使左、右两边内部的数据没有排序,我们仍然可以根据左边最大的数和右边最大的数得到中位数:

如何快速从一个数据容器中找出最大数呢?我们可以使用最大堆来实现这个数据容器,因为堆顶的元素就是最大的元素;同样我们可以使用最小堆来快速找出一个数据容器中最小数。因此按照这个思路我们就可以使用一个最大堆实现左边的数据容器,使用一个最小堆实现右边的数据容器,但是需要注意的是这两个容器的大小差值不能超过1;

347. 前K个高频元素(类似剑指Offer面试题40)

参考答案:(131ms)

public List<Integer> topKFrequent(int[] nums, int k) {
    TreeMap<Integer, Integer> map = new TreeMap<>();
    // 保存频率
    for (int num : nums) {
        if (map.containsKey(num)) {
            map.put(num, map.get(num) + 1);
        } else {
            map.put(num, 1);
        }
    }

    PriorityQueue<Integer> pq = new PriorityQueue<>(Comparator.comparingInt(map::get));
    for (int key : map.keySet()) {
        if (pq.size() < k) {
            pq.add(key);
        } else if (map.get(key) > map.get(pq.peek())) {
            pq.remove();
            pq.add(key);
        }
    }

    LinkedList<Integer> res = new LinkedList<>();
    while (!pq.isEmpty()) {
        res.add(pq.remove());
    }
    return res;
}

692. 前K个高频单词

参考答案:(72ms)

public List<String> topKFrequent(String[] words, int k) {
    Map<String, Integer> count = new HashMap();
    for (String word: words) {
        count.put(word, count.getOrDefault(word, 0) + 1);
    }
    List<String> candidates = new ArrayList(count.keySet());
    Collections.sort(candidates, (w1, w2) -> count.get(w1).equals(count.get(w2)) ?
            w1.compareTo(w2) : count.get(w2) - count.get(w1));

    return candidates.subList(0, k);
}

这道题类似于上面的第347题,但是问题出在返回的顺序上,需要自己来定义一个比较器来排序..然后也学到一个写法,就是上面的第一个for循环里,getOrDefault()方法,get√..

参考答案2:(91ms)

public List<String> topKFrequent(String[] words, int k) {
    Map<String, Integer> count = new HashMap();
    for (String word: words) {
        count.put(word, count.getOrDefault(word, 0) + 1);
    }
    PriorityQueue<String> heap = new PriorityQueue<String>(
            (w1, w2) -> count.get(w1).equals(count.get(w2)) ?
                    w2.compareTo(w1) : count.get(w1) - count.get(w2) );

    for (String word: count.keySet()) {
        heap.offer(word);
        if (heap.size() > k) heap.poll();
    }

    List<String> ans = new ArrayList();
    while (!heap.isEmpty()) ans.add(heap.poll());
    Collections.reverse(ans);
    return ans;
}

这个解法就有点儿类似于上面的347题,其实是大同小异,就是自己不会灵活使用比较器而已,学习到了学习到了√...


简单总结

今天算是很有收获的一天,因为这两种数据结构都是自己特别不熟悉的,特别是在刷了一些LeetCode相关题目之后,对这两种数据有了很不一样的认识,特别是堆的应用,这是一种特别适合用来找第k小/大的特殊的数据结构,并且在Java中居然有直接的实现,这可太棒了,而且今天的效率还算挺高的,满足;

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