算法小丑 阅读(122) 评论(0)

  [He et al. 2013]文章提出了一种基于L0范数最小化的三角网格去噪算法。该思想最初是由[Xu et al. 2011]提出并应用于图像平滑,假设c为图像像素的颜色向量,▽c为颜色向量的梯度,设置目标函数为:minc |c – c*|2 + |▽c|0,其中|▽c|0为▽c的L0范数,c*为原始图像的颜色向量。通过引入辅助变量δ,优化函数变为:minc,δ |c – c*|2 + β|▽c – δ|2 + λ|δ|0,其中λ用于控制最终图像的平滑程度。优化过程分两步:第一步固定c优化δ,即minδ β|▽c – δ|2 + λ|δ|0;第二步固定δ优化c,即minc |c – c*|2 + β|▽c – δ|2。然后循环迭代这两步,每次迭代中β乘以2,使得最终▽c ≈ δ。

  当将L0范数最小化的思想应用于三角网格去噪时,网格顶点坐标p可以代替c,但是还需要设置一个离散微分算子来代替▽c,其满足网格平坦区域值为0,其中一个选择就是离散Laplacian算子。文章提出了一种应用于网格边的微分算子D(e),其表达式为:

            

  但是当有角度接近0时,微分算子的权重会变成inf,因此文章又提出了一种优化后的微分算子表达式:

 

微分算子D(e)中的符号说明

  对于非均匀噪声网格,文章在优化过程中加入了正则化项R(e) = (p1 – p2 + p3 – p4)2,于是优化目标变为:minp,δ |p – p*|2 + α|R(p)|2 + β|D(p) – δ|2 + λ|δ|0,其中p*为初始网格顶点坐标,D(p)代表与p相关的表达式,其第i项对应第i条边的微分算子,R(p)的第i项对应第i条边的正则项。同样优化过程分两步:第一步固定p优化δ,即minδ β|D(p) – δ|2 + λ|δ|0,当,δi = 0,否则δi = Di;第二步固定δ优化p,即minp |p – p*|2 + α|R(p)|2 + β|D(p) – δ|2,相当于求解稀疏矩阵方程组。然后循环迭代上述两个步骤直到达到预定条件。

效果:

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参考文献:

[1] Lei He and Scott Schaefer, "Mesh denoising via L0 minimization," ACM Trans. Graph. 32, 4, Article 64 (July 2013), 8 pages, 2013.
[2] Li Xu, Cewu Lu, Yi Xu, and Jiaya Jia, "Image smoothing via L0 gradient minimization," In Proceedings of the 2011 SIGGRAPH Asia Conference (SA '11). ACM, New York, NY, USA, , Article 174 , 12 pages, 2011.