算法小丑 阅读(107) 评论(0)

  基于两步法的网格去噪算法顾名思义包含两个步骤:首先对网格表面的法向进行滤波,得到调整后的网格法向信息,然后根据调整后的法向更新顶点坐标位置,下面介绍三篇该类型的文章。

  [Sun et al. 2007]文章首先介绍了当前法向滤波方法以及顶点坐标更新方法,然后提出自己的法向滤波方法和顶点坐标更新方法。

  法向滤波方法:

  1.均值滤波(mean filter):ni = normalize(ΣjN(i) Aj·nj / ΣjN(i) Aj),均值滤波会破坏网格的细节特征。

  2.中值滤波(median filter):ni = arg mediannj {wj⊙∠(ni, nj) : j∈N(i)},中值滤波能够保持网格的细节特征,但当网格噪声较大时,效果并不好。

  3.α-截尾滤波(alpha-trimming filter):ni = normalize(ΣjN(i) Iα(j) ·Aj·nj),∠(ni, nj)角度值前α比例和后α比例对应的Iα(j)为0,当α = 0时等同于均值滤波,当α = 0.5时等同于中值滤波。

  4.模糊矢量中值滤波(fuzzy vector median filter):先使用矢量中值滤波nm = arg minnjkN(i) d(nj, nk) : j∈N(i)},其中d(nj, nk)为nj和nk的Lp范数或∠(nj, nk)角度值,然后再使用高斯滤波ni = normalize(ΣjN(i) nj·exp(-d(nj, nm)2/2σ2))。模糊矢量中值滤波可以得到误差较小的法向,但会增加计算量。

  5.[Sun et al. 2007]文章法向滤波方法:ni = normalize(ΣjN(i) hj·nj),权重定义为,其中N(i)为三角片fi的邻域三角片集,有两种选择,见下图,f(x) = x2,0 ≤ T ≤ 1,T的取值决定了邻域三角片N(i)中有多少三角片法向会参与计算,当T = 1时,只有与ni相等的邻域三角片法向会参与计算,而当T = 0时,所有邻域三角片法向都会参与计算。当网格有明显棱边时,T可以取相对较小值,而当网格比较光滑时,T可以取相对较大值。

 

Ⅰ基于顶点(vertex based)的三角片邻域;Ⅱ表示基于边(edge based)的三角片邻域

  顶点坐标更新方法:

  1.求解线性方程组:

 

  2.梯度下降法:

 

其中Nv(i)为顶点i的1环邻域顶点集。

  3. [Sun et al. 2007]文章顶点更新方法:

 

其中Fv(i)为顶点i的1环邻域三角片集。

效果:

 

  [Zheng et al. 2011]文章提出了两种三角片法向更新方法,而其顶点坐标更新方法采用和[Sun et al. 2007]文章一样的方法。

  1.Local and Iterative Scheme:

  该方法采用对法向进行双边滤波:nit+1 = Ki·ΣjN(i) wij·njt,其中N(i)为三角片fi的邻域三角片集,Ki为归一化系数,wij = ξij·Wc·Ws,ξij为三角片fj的面积Si,空间域核Wc(||ci – cj||) = exp(-||ci – cj||2/2σc2),值域核Ws(||ni – nj||) = exp(-||ni – nj||2/2σs2)。

  2. Global and Non-Iterative Scheme:

  该方法通过求解线性方程组来最小化目标函数,相对于上面的显式更新顶点坐标方法,该方法是一种对应的隐式更新顶点坐标方法,目标函数如下:

 

其中Ai = Si/mean({S}),上式等同于求解线性方程组,但是方程不满秩,需要加入软约束条件:Ed = Σi Ai·||ni – ni||2。最后优化目标为:argmin(1 - λ) ·Es + λ·Ed,其中λ∈[0, 1],用于控制网格的光滑程度。

效果:

 

 

  [Zhang et al. 2015]文章提出了一种三角片法向更新方法,该方法与[Zheng et al. 2011]文章的方法一相似,不同的是[Zheng et al. 2011]文章采用原始法向作为双边滤波中的值域信息,而[Zhang et al. 2015]文章对原始法向进行引导滤波(guided filter)得到新的法向作为值域信息。而其顶点坐标更新方法同样采用和[Sun et al. 2007]文章一样的方法。

 

其中Ni为三角片fi的邻域三角片集,Wi为归一化系数,Aj为三角片fj的面积,空间域核Ks和值域核Kr都为高斯核函数。

  关键如何计算三角片fi的引导法向(guidance)gi,文章提出对于三角片fi,在其周围寻找一个包含三角片fi的区域,使该区域内的三角片法向变化最小,然后将这个区域里的所有三角片法向进行加权平均作为三角片fi的引导法向。具体来说,定义Pk为与三角片fi拥有共同顶点的三角片集{fk},那么三角片fi的候选区域(candidate patch)为C(fi) = {Pk∣fi∈Pk}。对于每个区域P∈C(fi),计算区域P内三角片法向的一致性(consistency):H(P) = Ф(P)·R(P),其中Ф(P)为区域P内三角片法向的最大偏差:Ф(P) = maxfj,fkP ||nj – nk||,R(P)为区域P内相邻三角片法向的相对变化程度:,式中φ(ej) = ||nj1 – nj2||。然后选取其中一致性函数H(P)最小的区域P*,并对其中的三角片法向作面积加权平均,即得到三角片fi的引导法向gi:gi = normalize(ΣfjP* Aj·nj)。

效果: 

 

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参考文献:

[1] Xianfang Sun; Rosin, P.L.; Martin, R.R.; Langbein, F.C., "Fast and Effective Feature-Preserving Mesh Denoising," Visualization and Computer Graphics, IEEE Transactions, vol.13, no.5, pp.925-938, Sept.-Oct. 2007.

[2] Youyi Zheng; Hongbo Fu; Au, O.K.-C.; Chiew-Lan Tai, "Bilateral Normal Filtering for Mesh Denoising," Visualization and Computer Graphics, IEEE Transactions, vol.17, no.10, pp.1521-1530, Oct. 2011.

[3] Wangyu Zhang, Bailin Deng, Juyong Zhang, Sofien Bouaziz, Ligang Liu, "Guided Mesh Normal Filtering," Computer Graphics Forum (Proc. Pacific Graphics), 34(7): 23–34, 2015.