算法小丑 阅读(121) 评论(0)

  网格上顶点的Laplace坐标(均匀权重)定义为:,其中di为顶点vi的1环邻域顶点数。

  网格Laplace坐标可以用矩阵形式表示:△=LV,其中,那么根据网格的Laplace坐标通过求解稀疏线性方程组可以得到网格的顶点坐标。

  基于网格Laplace形变算法的思想:网格上顶点的Laplace坐标作为网格的细节特征,其在网格形变前后的局部坐标系内不发生变化。Laplace形变问题可以用如下数学优化形式表达,那么问题的关键是如何得到网格形变后的Laplace坐标,或者说是每个顶点Laplace坐标的变换Ti。 

 

 

  文章[Lipman et al. 2004]形变算法主要包括以下步骤:

  1.在初始网格顶点上建立局部坐标系,先利用原始Laplace坐标将网格进行形变;

  2.在形变后的网格顶点上建立局部坐标系,根据形变前后Laplace坐标在局部坐标系内不变,估计形变后网格顶点的Laplace坐标,如下:

δ(vj)=αnjuji+γ(nj×uji)

δ(vj)=αnjuji+γ(nj×uji)

其中:njnj为形变前后顶点vj的法向,ujiuji为形变前后边ji在顶点vj切平面内的投影方向,δ(vj)和δ(vj)为形变前后顶点vj的Laplace坐标。

  3.根据编辑后的Laplace坐标求解形变后网格的顶点坐标。

  步骤2和步骤3可以进行迭代。

  算法效果:拖动蓝色控制点后,发现随着算法迭代次数的增加,网格表面细节特征逐渐恢复。

 

 

  文章[Sorkine et al. 2004]形变算法是将优化表达式中Ti表示成vi’相关的形式,这样就可以直接求解得到形变后网格顶点坐标vi’,不需要迭代求解,具体过程如下:

Ti在小角度情况下可以近似为:,将Ti表示vi’线性相关的形式:

 

其中:

  这样Ti就表示成了vi’线性相关的形式,然后根据优化表达式通过最小二乘法即可求得vi’。

  算法效果:蓝色控制点从下向上拖拽时的网格形变效果。

 

 

  前文介绍的Possion形变和Laplace形变是基于网格表面的形变,在大尺度网格形变时,算法不保证体图细节。文章[Zhou et al. 05]提出了基于体图的Laplace形变算法,对于输入网格M,构造两种体图:填充网格内部的图gin用来防止大尺度形变时不自然的体积变化;覆盖网格外侧的图gout用来防止局部自交。

 

蓝色为输入网格M;红色为填充网格内部的图gin;绿色为覆盖网格外侧的图gout

  为了平衡保持网格表面几何细节和保持体图几何细节两个目标,优化函数修改为以下形式:

 

其中,图g的前n个点就是网格M的点。LM是网格的离散Laplace算子;g’是去掉M中的边之后的g的子图;对网格M中的点,εi(1≤i≤n)是形变后网格的Laplace坐标;对子图g’中的点,δi(1≤i≤N)是形变后体图的Laplace坐标。形变能量分为三个部分,分别刻画保持表面几何细节、满足用户指定约束和保持体图细节的程度。

  算法效果:Possion形变不保持体图细节,Volumetric laplacian形变保持体图细节。

 

 

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参考文献:

[1] Y. Lipman, O. Sorkine, D. Cohen-Or, D. Levin, C. Rossl, and H.-P. Seidel. "Differential Coordinates for Interactive Mesh Editing." In Proc. of Shape Modeling International, pp.181-90. Washington, DC: IEEE Computer Society, 2004.

[2] O. Sorkine, D. Cohen-Or, Y. Lipman, M. Alexa, C. Rossl, and H.-P. Seidel. "Laplacian Surface Editing." In Proc. of Eurographics Symposium on Geometry Processing, pp. 179-88. Aire-la-Ville, Switzerland: Eurographics Association, 2004.

[3] K. Zhou, J. Huang, J. Snyder, X. Liu, H. Bao, B. Guo, and H.-Y.Shum. "Large Mesh Deformation Using the Volumetric Graph Laplacian." ACM Transactions on Graphics (Proc. SIGGRAPH) 24:3 (2005), 496-503.

[4] 黄劲. 大尺度几何形变理论与方法[D]. 浙江大学, 2007.