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  将三角网格上的顶点坐标(x,y,z)看作3个独立的标量场,那么网格上每个三角片都存在3个独立的梯度场。该梯度场是网格的微分属性,相当于网格的特征,在形变过程中年不发生变化(避免网格形变后畸形)。那么当用户拖拽网格上的控制点集时,网格形变问题即变为求解以下式子:

  根据变分法,上式最小化即求解泊松方程:

其中Φ为待求的网格形变后坐标,w为网格形变后的梯度场。

  上式可以进一步表示为求解稀疏线性方程组:

其中L为网格的拉普拉斯算子,b为梯度场w在网格顶点处的散度值。

 

  问题的关键是如何得到网格形变后的梯度场w,文章[Yu et al. 2004]提到其是通过由控制点集变换的加权运算得到,并且提出了几种不同的加权方式(线性加权,高斯加权等)。另外文章[Zayer et al. 2005]中提到可以在网格内构建一个调和场作为加权系数。

 

1.离散梯度算子定义:

      假设f是一个分片线性函数,在网格的每个三角片{xi,xj,xk}的顶点处有f(xi)=fi,f(xj)=fj,f(xk)=fk,通过线性插值可以知道f在三角片上每一点处的值为: 

  这样f的梯度如下: 

其中基函数Φi,Φj,Φk满足Φijk=1,那么它们梯度之和▽Φi+▽Φj+▽Φk=0。所以f的梯度可以写成如下形式: 

  经简单计算可以求得▽Φi的表达式是,同样也可以写出▽Φj、▽Φk的表达式,其中⊥表示将向量逆时针旋转90度,A表示三角片的面积。

2.离散散度算子定义:

       设向量值函数w:S→R3,S表示网格,w表示在每个三角片上的向量,那么w在顶点xi处的散度可以定义为:

其中T(xi)表示顶点xi的1环邻域三角片,AT表示三角片T的面积。

 

3.离散Laplace算子定义:

       将梯度算子表达式代入散度算子表达式可以得到顶点xi处的Laplace算子如下形式:

其中N(xi)表示顶点xi的1环邻域点。

 

效果:

 

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参考文献:

[1] Y. Yu, K. Zhou, D. Xu, X. Shi, H. Bao, B. Guo, and H.-Y. Shum. "Mesh Editing with Poisson-Based Gradient Field Manipulation." ACM Transactions on Graphics (Proc. SIGGRAPH) 23:3 (2004), 644-51.

[2] R. Zayer, C. Rossl, Z. Karni, and H.-P. Seidel. "Harmonic Guidance for Surface Deformation." Computer Graphics Forum (Proc. Eurographics) 24:3 (2005), 601-10.

[3] 许栋. 微分网格处理技术[D]. 浙江大学, 2006.

[4] 刘昌森. 三角网格曲面上的laplace算子及其应用[D]. 中国科学技术大学, 2012.