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在算法面试中,面试官总是喜欢围绕链表、排序、二叉树、二分查找来做文章,而大多数人都可以跟着专业的书籍来做到倒背如流。而面试官并不希望招收的是一位记忆功底很好,但不会活学活用的程序员。所以学会数学建模和分析问题,并用合理的算法或数据结构来解决问题相当重要。

面试题:打印出旋转数组的最小数字

题目:把一个数组最开始的若干个元素搬到数组的末尾,我们称之为数组的旋转。输入一个递增排序的数组的一个旋转,输出旋转数组的最小元素。例如数组 {3,4,5,1,2} 为数组 {1,2,3,4,5} 的一个旋转,该数组的最小值为 1。

要想实现这个需求很简单,我们只需要遍历一遍数组,找到最小的值后直接退出循环。代码实现如下:

public class Test08 {

    public static int getTheMin(int nums[]) {
        if (nums == null || nums.length == 0) {
            throw new RuntimeException("input error!");
        }
        int result = nums[0];
        for (int i = 0; i < nums.length - 1; i++) {
            if (nums[i + 1] < nums[i]) {
                result = nums[i + 1];
                break;
            }
        }
        return result;
    }

    public static void main(String[] args) {
        // 典型输入,单调升序的数组的一个旋转
        int[] array1 = {3, 4, 5, 1, 2};
        System.out.println(getTheMin(array1));

        // 有重复数字,并且重复的数字刚好的最小的数字
        int[] array2 = {3, 4, 5, 1, 1, 2};
        System.out.println(getTheMin(array2));

        // 有重复数字,但重复的数字不是第一个数字和最后一个数字
        int[] array3 = {3, 4, 5, 1, 2, 2};
        System.out.println(getTheMin(array3));

        // 有重复的数字,并且重复的数字刚好是第一个数字和最后一个数字
        int[] array4 = {1, 0, 1, 1, 1};
        System.out.println(getTheMin(array4));

        // 单调升序数组,旋转0个元素,也就是单调升序数组本身
        int[] array5 = {1, 2, 3, 4, 5};
        System.out.println(getTheMin(array5));

        // 数组中只有一个数字
        int[] array6 = {2};
        System.out.println(getTheMin(array6));

        // 数组中数字都相同
        int[] array7 = {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1};
        System.out.println(getTheMin(array7));
    }
}

打印结果没什么毛病。不过这样的方法显然不是最优的,我们看看有没有办法找出更加优质的方法处理。

有序,还要查找?

找到这两个关键字,我们不免会想到我们的二分查找法,但不少小伙伴肯定会问,我们这个数组旋转后已经不是一个真正的有序数组了,不过倒像是两个递增的数组组合而成的,我们可以这样思考。

我们可以设定两个下标 low 和 high,并设定 mid = (low + high)/2,我们自然就可以找到数组中间的元素 array[mid],如果中间的元素位于前面的递增数组,那么它应该大于或者等于 low 下标对应的元素,此时数组中最小的元素应该位于该元素的后面,我们可以把 low 下标指向该中间元素,这样可以缩小查找的范围。

同样,如果中间元素位于后面的递增子数组,那么它应该小于或者等于 high 下标对应的元素。此时该数组中最小的元素应该位于该中间元素的前面。我们就可以把 high 下标更新到中位数的下标,这样也可以缩小查找的范围,移动之后的 high 下标对应的元素仍然在后面的递增子数组中。

不管是更新 low 还是 high,我们的查找范围都会缩小为原来的一半,接下来我们再用更新的下标去重复新一轮的查找。直到最后两个下标相邻,也就是我们的循环结束条件。

说了一堆,似乎已经绕的云里雾里了,我们不妨就拿题干中的这个输入来模拟验证一下我们的算法。

  1. input:{3,4,5,1,2}
  2. 此时 low = 0,high = 4,mid = 2,对应的值分别是:num[low] = 3,num[high] = 2,num[mid] = 5
  3. 由于 num[mid] > num[low],所以 num[mid] 应该是在左边的递增子数组中。
  4. 更新 low = mid = 2,num[low] = 5,mid = (low+high)/2 = 3,num[mid] = 1;
  5. high - low ≠ 1 ,继续更新
  6. 由于 num[mid] < num[high],所以断定 num[mid] = 1 位于右边的自增子数组中;
  7. 更新 high = mid = 3,由于 high - mid = 1,所以结束循环,得到最小值 num[high] = 1;

我们再来看看 Java 中如何用代码实现这个思路:

public class Test08 {

    public static int getTheMin(int nums[]) {
        if (nums == null || nums.length == 0) {
            throw new RuntimeException("input error!");
        }
        // 如果只有一个元素,直接返回
        if (nums.length == 1)
            return nums[0];
        int result = nums[0];
        int low = 0, high = nums.length - 1;
        int mid;
        // 确保 low 下标对应的值在左边的递增子数组,high 对应的值在右边递增子数组
        while (nums[low] >= nums[high]) {
            // 确保循环结束条件
            if (high - low == 1) {
                return nums[high];
            }
            // 取中间位置
            mid = (low + high) / 2;
            // 代表中间元素在左边递增子数组
            if (nums[mid] >= nums[low]) {
                low = mid;
            } else {
                high = mid;
            }
        }
        return result;
    }

    public static void main(String[] args) {
        // 典型输入,单调升序的数组的一个旋转
        int[] array1 = {3, 4, 5, 1, 2};
        System.out.println(getTheMin(array1));

        // 有重复数字,并且重复的数字刚好的最小的数字
        int[] array2 = {3, 4, 5, 1, 1, 2};
        System.out.println(getTheMin(array2));

        // 有重复数字,但重复的数字不是第一个数字和最后一个数字
        int[] array3 = {3, 4, 5, 1, 2, 2};
        System.out.println(getTheMin(array3));

        // 有重复的数字,并且重复的数字刚好是第一个数字和最后一个数字
        int[] array4 = {1, 0, 1, 1, 1};
        System.out.println(getTheMin(array4));

        // 单调升序数组,旋转0个元素,也就是单调升序数组本身
        int[] array5 = {1, 2, 3, 4, 5};
        System.out.println(getTheMin(array5));

        // 数组中只有一个数字
        int[] array6 = {2};
        System.out.println(getTheMin(array6));

        // 数组中数字都相同
        int[] array7 = {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1};
        System.out.println(getTheMin(array7));

        // 特殊的不知道如何移动
        int[] array8 = {1, 0, 1, 1, 1};
        System.out.println(getTheMin(array8));
    }
}

前面我们提到在旋转数组中,由于是把递增排序数组的前面的若干个数字搬到数组后面,因为第一个数字总是大于或者等于最后一个数字,而还有一种特殊情况是移动了 0 个元素,即数组本身,也是它自己的旋转数组。这种情况本身数组就是有序的了,所以我们只需要返回第一个元素就好了,这也是为什么我先给 result 赋值为 nums[0] 的原因。

上述代码就完美了吗?我们通过测试用例并没有达到我们的要求,我们具体看看 array8 这个输入。先模拟计算机运行分析一下:

  1. low = 0, high = 4, mid = 2, nums[low] = 1, nums[high] = 1,nums[mid] = 1;
  2. 由于 nums[mid] >= nums[low],故认定 nums[mid] = 1 在左边递增子数组中;
  3. 所以更新 high = mid = 2,mid = (low+high)/2 = 1;
  4. nums[low] = 1,nums[mid] = 1,nums[high] = 1;
  5. high - low ≠ 1,继续循环;
  6. 由于 nums[mid] >= nums[low],故认定 nums[mid] = 1 在左边递增子数组中;
  7. 所以更新 high = mid = 1,由于 high - low = 1,故退出循环,得到 result = 1;

但我们一眼了然,明显我们的最小值不是 1 ,而是 0 ,所以当 array[low]、array[mid]、array[high] 相等的时候,我们的程序并不知道应该如何移动,按照目前的移动方式就默认 array[mid] 在左边递增子数组了,这显然是不负责任的做法。

我们修正一下代码:

public class Test08 {

    public static int getTheMin(int nums[]) {
        if (nums == null || nums.length == 0) {
            throw new RuntimeException("input error!");
        }
        // 如果只有一个元素,直接返回
        if (nums.length == 1)
            return nums[0];
        int result = nums[0];
        int low = 0, high = nums.length - 1;
        int mid = low;
        // 确保 low 下标对应的值在左边的递增子数组,high 对应的值在右边递增子数组
        while (nums[low] >= nums[high]) {
            // 确保循环结束条件
            if (high - low == 1) {
                return nums[high];
            }
            // 取中间位置
            mid = (low + high) / 2;
            // 三值相等的特殊情况,则需要从头到尾查找最小的值
            if (nums[mid] == nums[low] && nums[mid] == nums[high]) {
                return midInorder(nums, low, high);
            }
            // 代表中间元素在左边递增子数组
            if (nums[mid] >= nums[low]) {
                low = mid;
            } else {
                high = mid;
            }
        }
        return result;
    }

    /**
     * 查找数组中的最小值
     *
     * @param nums  数组
     * @param start 数组开始位置
     * @param end   数组结束位置
     * @return 找到的最小的数字
     */
    public static int midInorder(int[] nums, int start, int end) {
        int result = nums[start];
        for (int i = start + 1; i <= end; i++) {
            if (result > nums[i])
                result = nums[i];
        }
        return result;
    }

    public static void main(String[] args) {
        // 典型输入,单调升序的数组的一个旋转
        int[] array1 = {3, 4, 5, 1, 2};
        System.out.println(getTheMin(array1));

        // 有重复数字,并且重复的数字刚好的最小的数字
        int[] array2 = {3, 4, 5, 1, 1, 2};
        System.out.println(getTheMin(array2));

        // 有重复数字,但重复的数字不是第一个数字和最后一个数字
        int[] array3 = {3, 4, 5, 1, 2, 2};
        System.out.println(getTheMin(array3));

        // 有重复的数字,并且重复的数字刚好是第一个数字和最后一个数字
        int[] array4 = {1, 0, 1, 1, 1};
        System.out.println(getTheMin(array4));

        // 单调升序数组,旋转0个元素,也就是单调升序数组本身
        int[] array5 = {1, 2, 3, 4, 5};
        System.out.println(getTheMin(array5));

        // 数组中只有一个数字
        int[] array6 = {2};
        System.out.println(getTheMin(array6));

        // 数组中数字都相同
        int[] array7 = {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1};
        System.out.println(getTheMin(array7));

        // 特殊的不知道如何移动
        int[] array8 = {1, 0, 1, 1, 1};
        System.out.println(getTheMin(array8));

    }
}

我们再用完善的测试用例放进去,测试通过。

总结

本题其实考察的点挺多的,实际上就是考察对二分查找的灵活运用,不少小伙伴死记硬背二分查找必须遵从有序,而没有学会这个二分查找的思想,这样会导致只能想到循环查找最小值了。

不少小伙伴在面试中表态,Android 原生态基本都封装了常用算法,对面试这些无作用的算法表示抗议,其实这是相当愚蠢的。我们不求死记硬背算法的实现,但求学习到其中巧妙的思想。只有不断地提升自己的思维能力,才能助自己收获更好的职业发展。

这也大概是大家一直到处叫大佬,埋怨自己工资总是跟不上别人的一方面原因吧。