救火队长 阅读(19) 评论(0)

最近搞Canvas绘图,知道了JavaScript中提供了atan2(y,x)这样一个三角函数。乍眼一看,不认识,毕竟在高中时,学过的三角函数有:sin,cos,arcsin,arccos,tan,arctan等,并没有这个。而工作中又需要用到它,所以这里就做了个简单的了解。

 

  1. 在坐标系中理解tan 和atan
  2. 为何存在atan2 ?
  3. atan2 应用

 

 

 

在坐标系中理解tan atan

回顾一下三角函数tan

tanθ,用三角函数来表示时,它的值等于sinθ/cosθ,如果将其放到坐标系中,它的的值等价于:dy/dx。在坐标系中,任意两个点所组成的直线,相对于x轴的斜率就是tanθ = dy /dx,相对于y轴的斜率就是dx/dy ,此时我们用cot来表示;其中,dy 是两个点的y坐标的差值,dx是两个点的x坐标的差值。

那么坐标系内除了y轴,任何一个点(x,y),相对于x轴的斜率就是y-0/x-0,也即是y/x

 

我们将tanθ称为一条直线相对于x轴的斜率,那么θ就是相对于x轴的夹角(旋转角度)了。

tan,是根据角度计算斜率的。那么反过来 arctan(反正切)自然就认为是根据斜率来计算角度的。

 

为何存在atan2 ?

JavaScript中,提供了两个arctan函数,一个是atan, 一个是atan2atan就是我们所熟知arctan。其实在很多编程语言中都提供了atan2

那么atan2又是怎么回事呢?

 

要知道这个,需要知道arctan的不足之处:

arctan的返回值范围是(-π/2,  π/2) 不包括, ±π/2,也就是(两个点组成的直线与x轴夹角是90°)90°是计算不出来的。为啥呢?在计算arctan ( dy/dx)时,如果两个点(x1,y1),(x2,y2)组成的直线与x轴的夹角呈90°时,dx= x2-x1 = 0 0 是不能作为除数的,所以就无法计算这种情形。

值的范围也就是计算的角度的范围在(-π/2,  π/2),从坐标系来看,这个角度的范围只能是在第14象限,并不能表示出第23象限的角。

 

为了弥补atan的不足,在计算机编程领域,引入了atan2函数,它的计算结果是在(-π,π]。它正好可以覆盖整个坐标系,包括90°的情形。

 

它的计算过程是怎样的呢?

关于这个,我从wikipedia上摘取了它的计算过程:

 

 

 

 

atan2的应用

在第一小节中的那张图中的坐标系,是我们熟知的。在HTMLCanvas中,坐标系并不像我们熟知的坐标系那样。它是这样的:

 

x轴正向沿顺时针方向,所经过的角度分别是0,π/2, π,3π/22π。

x轴正向沿逆时针方向,所经过的角度分别是0-π/2, -π,-3π/2-2π。

 

 

 

atan2的结果在(-π,π]之间,恰好一周,四个象限全覆盖。从坐标系来看,顺时针方向的值是正值,逆时针方向的值是负的。 

从坐标系上来看,atan2结果是(0,-π)时就表示,从x轴正向逆时针方向转最大 π弧度(180角度)。同理,(0,π)表示从x轴正向顺时针转最大π弧度(180角度)。

 

在第1)小节中说了atan可以用来计算平面坐标系内任意两点的连线与x轴正向之间的夹角。而atan2atan的补充,那么使用atan2自然就可以来计算平面坐标系内任意两点的连线与x轴正向之间的夹角了。

 如果两个点在第一象限内:

 

 

如果两个点在第四象限内:

如果两个点在不同的象限内,我们也可以平移来看。

 

 

何时需要使用atan2 ?

 

目前我遇到了两种情况,是通过atan2来解决的:

1) 在平面坐标系内任意两个点间画一条带有箭头的直线(可以是单向箭头,可以是双向箭头)。在这个需求中,另外也知道了箭头的一条边与直线的夹角和箭头的长度。

这个需求的难点就是要计算出箭头的另外两个点坐标。

2) 在平面坐标系内任意两个点之间画一条指定曲率的曲线(arc)。在这个需求中,要计算arc,自然要知道radius, startAngle, endAngle,圆心坐标。可以根据曲率来计算出半径等,但是难点在计算圆心坐标。

 

这两个需求的共同特点是:

1)两个已知的点

2)根据这两个点和其他的条件去计算一些必须的(画line,arc等必须的)点坐标。

 

目前我遇到了这两种需求,都通过atan2来解决的。其他的情况,目前尚且未知,待后续发现时,补充上。