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前言

假如面试官让你编写求斐波那契数列的代码时,是不是心中暗喜?不就是递归么,早就会了。如果真这么想,那就危险了。

递归求斐波那契数列

递归,在数学与计算机科学中,是指在函数的定义中使用函数自身的方法。
斐波那契数列的计算表达式很简单:

1F(n) = n; n = 0,1
2F(n) = F(n-1) + F(n-2),n >= 2;

因此,我们能很快根据表达式写出递归版的代码:

 1/*fibo.c*/
2#include <stdio.h>
3#include <stdlib.h>
4/*求斐波那契数列递归版*/
5unsigned long fibo(unsigned long int n)
6{
7    if(n <= 1)
8        return n;
9    else 
10        return fibo(n-1) + fibo(n-2);
11}
12int main(int argc,char *argv[])
13{
14    if(1 >= argc)
15    {
16       printf("usage:./fibo num\n");
17       return -1;
18    }
19    unsigned long  n = atoi(argv[1]);
20    unsigned long  fiboNum = fibo(n);
21    printf("the %lu result is %lu\n",n,fiboNum);
22    return 0;
23}

关键代码为3~9行。简洁明了,一气呵成。
编译:

1gcc -o fibo fibo.c

运行计算第5个斐波那契数:

1$ time ./fibo 5
2the 5 result is 5
3
4real    0m0.001s
5user    0m0.001s
6sys    0m0.000s

看起来并没有什么不妥,运行时间也很短。
继续计算第50个斐波那契数列:

1$ time ./fibo 50
2the 50 result is 12586269025
3
4real    1m41.655s
5user    1m41.524s
6sys    0m0.076s

计算第50个斐波那契数的时候,竟然花了一分多钟!

递归分析

为什么计算第50个的时候竟然需要1分多钟。我们仔细分析我们的递归算法,就会发现问题,当我们计算fibo(5)的时候,是下面这样的:

 1                         |--F(1)
2                  |--F(2)|
3           |--F(3)|      |--F(0)
4           |      |
5    |--F(4)|      |--F(1)
6    |      |      
7    |      |      |--F(1)
8    |      |--F(2)|
9    |             |--F(0)
10F(5)|             
11    |             |--F(1)
12    |      |--F(2)|
13    |      |      |--F(0)
14    |--F(3)|
15           |
16           |--F(1)

为了计算fibo(5),需要计算fibo(3),fibo(4);而为了计算fibo(4),需要计算fibo(2),fibo(3)……最终为了得到fibo(5)的结果,fibo(0)被计算了3次,fibo(1)被计算了5次,fibo(2)被计算了2次。可以看到,它的计算次数几乎是指数级的!

因此,虽然递归算法简洁,但是在这个问题中,它的时间复杂度却是难以接受的。除此之外,递归函数调用的越来越深,它们在不断入栈却迟迟不出栈,空间需求越来越大,虽然访问速度高,但大小是有限的,最终可能导致栈溢出
在linux中,我们可以通过下面的命令查看栈空间的软限制:

1$ ulimit -s
28192

可以看到,默认栈空间大小只有8M。一般来说,8M的栈空间对于一般程序完全足够。如果8M的栈空间不够使用,那么就需要重新审视你的代码设计了。

迭代解法

既然递归法不够优雅,我们换一种方法。如果不用计算机计算,让你去算第n个斐波那契数,你会怎么做呢?我想最简单直接的方法应该是:知道第一个和第二个后,计算第三个;知道第二个和第三个后,计算第四个,以此类推。最终可以得到我们需要的结果。这种思路,没有冗余的计算。基于这个思路,我们的C语言实现如下:

 1/*fibo1.c*/
2#include <stdio.h>
3#include <stdlib.h>
4/*求斐波那契数列迭代版*/
5unsigned long  fibo(unsigned long  n)
6{
7    unsigned long  preVal = 1;
8    unsigned long  prePreVal = 0;
9    if(n <= 2)
10        return n;
11    unsigned long  loop = 1;
12    unsigned long  returnVal = 0;
13    while(loop < n)
14    {
15        returnVal = preVal +prePreVal;
16        /*更新记录结果*/
17        prePreVal = preVal;
18        preVal = returnVal;
19        loop++;
20    }
21    return returnVal;
22}
23/**main函数部分与fibo.c相同,这里省略*/

编译并计算第50个斐波那契数:

1$ gcc -o fibo1 fibo1.c
2$ time ./fibo1 50
3the 50 result is 12586269025
4
5real    0m0.002s
6user    0m0.001s
7sys    0m0.002s

可以看到,计算第50个斐波那契数只需要0.002s!时间复杂度为O(n)。

尾递归解法

同样的思路,但是采用尾递归的方法来计算。要计算第n个斐波那契数,我们可以先计算第一个,第二个,如果未达到n,则继续递归计算,尾递归C语言实现如下:

 1/*fibo2.c*/
2#include <stdio.h>
3#include <stdlib.h>
4/*求斐波那契数列尾递归版*/
5unsigned long fiboProcess(unsigned long n,unsigned long  prePreVal,unsigned long  preVal,unsigned long begin)
6{
7    /*如果已经计算到我们需要计算的,则返回*/
8    if(n == begin)
9        return preVal+prePreVal;
10    else
11    {
12        begin++;
13        return fiboProcess(n,preVal,prePreVal+preVal,begin);
14    }
15}
16
17unsigned long  fibo(unsigned long  n)
18{
19    if(n <= 1)
20        return n;
21    else 
22        return fiboProcess(n,0,1,2);
23}
24
25/**main函数部分与fibo.c相同,这里省略*/

效率如何呢?

1$ gcc -o fibo2 fibo2.c
2$ time ./fibo2 50
3the 50 result is 12586269025
4
5real    0m0.002s
6user    0m0.001s
7sys    0m0.002s

可见,其效率并不逊于迭代法。尾递归在函数返回之前的最后一个操作仍然是递归调用。尾递归的好处是,进入下一个函数之前,已经获得了当前函数的结果,因此不需要保留当前函数的环境,内存占用自然也是比最开始提到的递归要小。时间复杂度为O(n)。

递归改进版

既然我们知道最初版本的递归存在大量的重复计算,那么我们完全可以考虑将已经计算的值保存起来,从而避免重复计算,该版本代码实现如下:

 1/*fibo3.c*/
2#include <stdio.h>
3#include <stdlib.h>
4/*求斐波那契数列,避免重复计算版本*/
5unsigned long fiboProcess(unsigned long *array,unsigned long n)
6{
7    if(n < 2)
8        return n;
9    else
10    {
11        /*递归保存值*/
12        array[n] = fiboProcess(array,n-1) + array[n-2];
13        return array[n];
14    }
15}
16
17unsigned long  fibo(unsigned long  n)
18{
19    if(n <= 1)
20        return n;
21    unsigned long ret = 0;
22    /*申请数组用于保存已经计算过的内容*/
23    unsigned long *array = (unsigned long*)calloc(n+1,sizeof(unsigned long));
24    if(NULL == array)
25    {
26        return -1;
27    }
28    array[1] = 1;
29    ret = fiboProcess(array,n);
30    free(array);
31    array = NULL;
32    return ret;
33}
34/**main函数部分与fibo.c相同,这里省略*/

效率如何呢?

1$ gcc -o fibo3 fibo3.c
2$ time ./fibo3 50
3the 50 result is 12586269025
4
5real    0m0.002s
6user    0m0.002s
7sys    0m0.001s

可见效率是不逊于其他两种优化算法的。但是特别注意的是,这种改进版的递归,虽然避免了重复计算,但是调用链仍然比较长。

其他解法

其他两种时间复杂度为O(logn)的矩阵解法以及O(1)的通项表达式解法本文不介绍。欢迎留言补充。

总结

总结一下递归的优缺点:
优点:

  • 实现简单
  • 可读性好

缺点:

  • 递归调用,占用空间大
  • 递归太深,易发生栈溢出
  • 可能存在重复计算

可以看到,对于求斐波那契数列的问题,使用一般的递归并不是一种很好的解法。
所以,当你使用递归方式实现一个功能之前,考虑一下使用递归带来的好处是否抵得上它的代价。

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